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绝密★启用前 2018年通俗高等黉舍和记APP招生全国统一考试2卷 理科数学 本试卷共23题,共150分,共4页。考试停止后,将本试卷和答题卡一并交回。

留意事变:1.答题前,考生先将自己的姓和记APP名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须应用2B铅笔填涂;

非选择题必须应用0.5毫米玄色笔迹的具名笔书写,字体工致、字迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,越过答题区域书写的谜底无效;

在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先应用铅笔画出,确定后必须用玄色笔迹的具名笔描黑。

5.维持卡面洁净,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准应用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是相符题目要求的。

1. A. B. C. D. 2.已知聚拢,则中元素的个数为 A.9 B.8 C.5 D.4 3.函数的图象大年夜致为4.已知向量,满意,,则 A.4 B.3 C.2 D.0 5.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 A. B. C. D. 6.在中,,,,则 A. B. C. D. 7.为谋略,设计了右侧的法度榜样框图,则在空缺框中应填入 A. B. C. D.8.我国数学家陈景润在哥德巴赫和记APP猜想的钻研中取得了天下领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大年夜于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不跨越30的素数中,随机拔取两个不合的数,其和即是30的概率是 A. B. C. D. 9.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 10.若在是减函数,则的最大年夜值是 A. B. C. D. 11.已知是定义域为的奇函数,满意.若, 则 A. B.0 C.2 D.50 12.已知,是椭圆的左,右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为 A. B. C. D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.曲线在点处的切线方程为__________. 14.若满意约束前提则的最大年夜值为__________. 15.已知,,则__________. 16.已知圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为45,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________. 三、解答题:共70分。解准许写出翰墨阐明、证实历程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分) 记为等差数列的前项和,已知,. (1)求的通项公式;

(2)求,并求的最小值. 18.(12分) 下图是某地区2000年至2016年情况根基举措措施投资额(单位:亿元)的折线图.为了猜测该地区2018年的情况根基举措措施投资额,建立了与光阴变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(光阴变量的值依次为)建立模型①:;

根据2010年至2016年的数据(光阴变量的值依次为)建立模型②:. (1)分手使用这两个模型,求该地区2018年的情况根基举措措施投资额的猜测值;

(2)你觉得用哪个模型获得的猜测值更靠得住?并阐明来由. 19.(12分) 设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,. (1)求的方程;

(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程. 20.(12分) 如图,在三棱锥中,, ,为的中点. (1)证实:平面;

(2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值. 21.(12分) 已知函数. (1)若,证实:当和记APP时,;

(2)若在只有一个零点,求.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数). (1)乞降的直角坐标方程;

(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率. 23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 设函数. (1)当时,求不等式的解集;

(2)若,求的取值范围.绝密★启用前 2018年通俗高等黉舍招生全国统一考试 理科数学试题参考谜底 一、选择题 1.D2.A3.B4.B5.A6.A 7.B8.C9.C10.A11.C12.D 二、填空题 13.14.915.16. 三、解答题 17.解:

(1)设的公差为d,由题意得. 由得d=2. 以是的通项公式为. (2)由(1)得. 以是当n=4时,取得最小值,最小值为−16. 18.解:

(1)使用模型①,该地区2018年的情况根基举措措施投资额的猜测值为 (亿元). 使用模型②,该地区2018年的情况根基举措措施投资额的猜测值为 (亿元). (2)使用模型②获得的猜测值更靠得住. 来由如下:

(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机漫衍在直线高低.这阐明使用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述情况根基举措措施投资额的变更趋势.2010年相对2009年的情况根基举措措施投资额有显着增添,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的相近,这阐明从2010年开始情况根基举措措施投资额的变更规律呈线性增长趋势,使用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年今后的情况根基举措和记APP措施投资额的变更趋势,是以使用模型②获得的猜测值更靠得住. (ⅱ)从谋略结果看,相对付2016年的情况根基举措措施投资额220亿元,由模型①获得的猜测值226.1亿元的增幅显着偏低,而使用模型②获得的猜测值的增幅对照合理.阐明使用模型②获得的猜测值更靠得住. 以上给出了2种来由,考生答出此中随意率性一种或其他合理来由均可得分. 19.解:

(1)由题意得,l的方程为. 设, 由得. ,故. 以是. 由题设知,解得(舍去),. 是以l的方程为. (2)由(1)得AB的中点坐标为,以是AB的垂直等分线方程为,即. 设所求圆的圆心坐标为,则 解得或 是以所求圆的方程为或. 20.解:

(1)由于,为的中点,以是,且. 贯穿毗连.由于,所以为等腰直角三角形, 且,. 由知. 由知平面. (2)如图,以为坐标原点,的偏向为轴正偏向,建立空间直角坐标系. 由已知得取平面的法向量. 设,则. 设平面的法向量为. 由得,可取, 以是.由已知得. 以是.解得(舍去),. 以是.又,以是. 以是与平面所成角的正弦值为.21.解:

(1)当时,等价于. 设函数,则. 当时,,以是在单调递减. 而,故当时,,即. (2)设函数. 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点. (i)当时,,没有零点;

(ii)当时,. 当时,;

当时,. 以是在单调递减,在单调递增. 故是在的最小值. ①若,即,在没有零点;

②若,即,在只有一个零点;

③若,即,因为,以是在有一个零点, 由(1)知,当时,,以是. 故在有一个零点,是以在有两个零点. 综上,在只有一个零点时,. 22..解:

(1)曲线的直角坐标方程为. 当时,的直角坐标方程为, 当时,的直角坐标方程为. (2)将的参数方程代入的直角坐标方程,收拾得关于的方程 .① 由于曲线截直线所得线段的中点在内,以是①有两个解,设为,,则. 又由①得,故,于是直线的斜率. 23.解:

(1)当时, 可得的解集为. (2)等价于. 而,且当时等号成立.故等价于. 由可得或,以是的取值范围是. 21(12分) 已知函数. (1)若,证实:当时,;

(2)若在只有一个零点,求. 解:

(1),. 当时,,当时,,以是在单调递减,在单调递增,故,在单调递增. 由于,以是. (2)当时,设,则,在只有一个零点等价于在只有一个零点. ,当时,,当时,,以是在单调递减,在单调递增,故. 若,则,在没有零点. 若,则,在有独一零点. 若,由于,由(1)知当时,,,故存在,使.,

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